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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 15

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ e ∞ 1 x ln ⁡ x 2   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Neste caso, vamos calcular primeiro a integral

I = ∫ e t 1 x ln ⁡ x 2   d x

e sem seguida tomar o limite t → ∞ .

Para essa integral, vamos fazer u = ln ⁡ x . Assim

d u = d x x

Portanto,

I = ∫ 1 ln ⁡ t 1 u 2   d u

Passo 2

Fazendo a integração:

I = - 1 u 1 ln ⁡ t

Portanto,

I = - 1 ln ⁡ t + 1 1 = 1 - 1 ln ⁡ t

Passo 3

Tomando o limite para t → ∞ , temos que ln ⁡ t → ∞ . Assim,

lim t → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ t = 1 " ∞ " = 0

Portanto,

lim t → ∞ ⁡ I = 1 - 0 = 1

Logo, a integral converge e vale 1 .

Resposta

1

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