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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 72

Calcule a derivada

(d)/(d x) int_(- x)^x (4)/(1 + t ²) d t

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() a x^n = (x)/(a ( n + 1 ))^(n + 1) , a = c o n s t a n t e

(d)/(d x) int_a^(f ( x )) h (t) d t = h (f ( x )) . (d)/(d x) (f (x) - a)

int_b^a f (x) d x = - int_a^b f (x) d x

Passo 2

Vou quebrar nosso intervalo de integração, de [-x,x] para [-x,0] + [0,x]

Logo a integração fica :

(d)/(d x) int_(- x)^x (4)/(1 + t ²) d t = (d)/(d x) int_(- x)^0 (4)/(1 + t ²) d t + (d)/(d x) int_0^x (4)/(1 + t ²) d t

Utlizando propriedade 5

(d)/(d x) int_(- x)^x (4)/(1 + t ²) d t = - (d)/(d x) int_0^(- x) (4)/(1 + t^2) d t + (d)/(d x) int_0^x (4)/(1 + t ²) d t

Utilizando propriedade 4, a integração fica :

= - ((4)/(1 + (- x)^2)) (d)/(d x) (- x + 0) + (4)/(1 + (x)^2) (d)/(d x) (x + 0)

= 2 . (4)/(1 + (x)^2)

Resposta

(d)/(d x) int_(- x)^x (4)/(1 + t ²) d t = (8)/(1 + (x)^2)

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