Calcule a derivada

d d x ∫ - x x 4 1 + t ²   d t    

Passo 1

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   a x n =   x a ( n + 1 ) n + 1     ,   a = c o n s t a n t e

d d x ∫ a f ( x ) h t d t =     h f ( x ) .   d d x f x - a

∫ b a f x   d x     =   - ∫ a b f x   d x    

Passo 2

Vou quebrar nosso intervalo de integração, de [-x,x] para [-x,0] + [0,x]

Logo a integração fica :

d d x ∫ - x x 4 1 + t ²   d t =   d d x ∫ - x 0 4 1 + t ²   d t + d d x ∫ 0 x 4 1 + t ²   d t    

Utlizando propriedade 5

d d x ∫ - x x 4 1 + t ²   d t = -   d d x ∫ 0 - x 4 1 + t 2   d t + d d x ∫ 0 x 4 1 + t ²   d t    

Utilizando propriedade 4, a integração fica :

=   -       4 1 + - x 2 d d x - x + 0 +   4 1 + x 2   d d x x + 0

= 2 .   4 1 + x 2

Resposta

d d x ∫ - x x 4 1 + t ²   d t =   8 1 + x 2    

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