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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 27

Nos exercícios 27 a 29, ache os valores de n para os quais a integral imprópria converge e para esses valores calcule a integral.

27. ∫ 0 1 x n d x

Passo 1

Nestas questões estamos voltado em fazer nossa análise em torno de n = - 1 . Então será analisado cada possibilidade de n para podermos tirar as conclusões.

Para o cálculo da integral imprópia pode ser adotado todo o método utilizado na resolução das primeiras questões dessa seção.

Quando se trabalha com integrais impróprias, devemos lembrar de analisar onde está havendo a descontinuidade para transformar a integral dada num limite ,com um t qualquer tendendo para onde ela é descontínua, da integral dada.

Passo 2

Fazendo a ánalise se n ≤ - 1 , temos que :

∫ 0 1 x n d x ≥ l i m t → 0 + ∫ t 1 d x x = l i m t → 0 + l n x t 1 = l i m t → 0 + l n 1 - l n t = + ∞

Logo, para n ≤ - 1 , a integral dada diverge.

Passo 3

Fazendo a ánalise se n > - 1 , temos que :

∫ 0 1 x n d x = l i m t → 0 + ∫ t 1 x n d x = l i m t → 0 + x n + 1 n + 1 t 1 = l i m t → 0 + 1 n + 1 - t n + 1 n + 1 = 1 n + 1

Logo, para n > - 1 , a integral dada converge.

Resposta

A integral dada diverge para n ≤ - 1 .

A integral dada converge para n > - 1 e tem seu valor como sendo ∫ 0 1 x n d x = 1 n + 1

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