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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 111

Determine a integral indefinida (a primitiva mais geral). Verifique suas respostas por derivação.

∫ s e n 2 x 4 d x     ( D i c a : s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ 2 )

Passo 1

Para resolver essa integral, utilizaremos a seguinte mudança de variável:

u = x 4

Logo,

d u = d x 4

Passo 2

Portanto, utilizando a dica, temos:

∫ 4 s e n 2 u   d u = ∫ 4 1 - cos ⁡ 2 u 2 = 2 ∫ ( 1 - c o s 2 u ) d u = 2 ∫ d u - 2 ∫ c o s 2 u   d u = 2 u - 1 2 . 2 . s e n 2 u

∫ 4 s e n 2 u   d u = 2 u - s e n 2 u + c

Substituindo o valor de u de volta, temos:

2 u - s e n 2 u + c = 2 . x 4 - s e n x 2 + c =   x 2 - s e n x 2 + c  

Onde c é uma constante.

Passo 3

Conferindo por derivação:

f x = x 2 - s e n x 2 + c  

f ' x = 1 2 - 1 2 cos ⁡ x 2 = s e n 2 ( x 4 )

Vemos, portanto, que a primitiva está correta!

Resposta

f x = x 2 - s e n x 2 + c  

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