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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 52

Calcule a integral int e^y c o s s e c ( e^y + 1 ) d y

Passo 1

Perceba que não temos uma primitiva de cara para essa função. Então, vamos ter que usar alguma forma pra sair dessa. A ideia é usar substituição pra poder ficar com uma variável elevada a uma potência que é algo que a gente já sabe resolver, blz?

Então ,chame

u = e^y + 1 => d u = e^y d y

Passo 2

Substituindo a mudança de variável,

int e^y c o s sec (e^y + 1) d y = int c o s s e c u e^y d y = int c o s s e c u d u

Passo 3

Resolvendo a integral,

int c o s s e c u d u = ln |c o s s e c u - c o t g u| + C

Passo 4

Retornando a variável inicial,

int c o s s e c u e^y d y = int c o s s e c u d u = ln |c o s s e c u - c o t g u| + C = ln |c o s s e c (e^y + 1) - c o t g (e^y + 1)| + C

Resposta

int e^y cos sec (e^y + 1) dy = ln |c o s s e c (e^y + 1) - c o t g (e^y + 1)| + C

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