Determine o limite lim x→1^(-) [1/x^(2/3) + 2/(x-1)^(2/3)]

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f x =     ⁡ 1 x 2 3 + 2 x - 1 2 3 quando nos aproximamos de 1 pela esquerda, ou seja por valores menores que um.

Como estamos numa soma, podemos usar a regra da soma “O limite da soma é a somados limites”:

l i m x → 1 -     1 x 2 3 + 2 x - 1 2 3 = l i m x → 1 -   1 x 2 3 +     l i m x → 1 -     2 x - 1 2 3  

Pela regra do quociente nas parcelas do limite, temos:

l i m x → 1 -     1 x 2 3 + 2 x - 1 2 3 = l i m x → 1 -   1 x 2 3 +     l i m x → 1 -     2 x - 1 2 3 =   l i m x → 1 -   1 l i m x → 1 -   x 2 3 + l i m x → 1 -   2 l i m x → 1 -   x - 1 2 3

Passo 2

Se ligue que 2 não depende de x, então l i m x → 1 -   2 = 2 , pelo mesmo motivo l i m x → 1 -   1 = 1 . Substituindo os resultados nessa bagaçada, ficamos :

  l i m x → 1 -   1 l i m x → 1 -   x 2 3 + l i m x → 1 -   2 l i m x → 1 -   x - 1 2 3 = 1 1 + 2 0    

Ps: Não escreve o 2 0 na sua prova, man senão teu professor vai te meter um zero. Fiz isso aqui so pra você perceber que o numerador não se anula, enquanto o denominador se anula, isso significa dizer que a nossa expressão tende a ∞ . Vamos analisar o ‘sinal’ desse .

Passo 3

Vamos olhar primeiro para essa parcela do limite:

l i m x → 1 -   x - 1 2 3

Como estamos próximo a zero pela esquerda, então estamos com valores negativos, mas

l i m x → 1 -   x - 1 2 3 =   l i m x → 1 -   x - 1 2 3

Por aquela paradinha: quem ta na sombra passa pro sol, quem tá no sol passa pra sombra.

Daí,

2 0 = ∞

Dando uma roubadinha, poderíamos pensar assim:

1 + ∞  

Como é muito grande e só estamos adicionando 2 a ele. Então, isso me retornaria algo grade com sinal negativo. Ou seja,

1 + ∞   = ∞  

Beleza?

Passo 4

Mas como eu disse, não é aquilo que você vai escrever na prova, então veja só como você botaria lá:

l i m x → 1 -     1 x 2 3 + 2 x - 1 2 3 =   ∞

Resposta

l i m x → 1 -     1 x 2 3 + 2 x - 1 2 3 =   ∞

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