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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 80

∫ e ∞   x p l n ⁡ ( x ) d x

Para quais valores de p a integral converge? Qual é o valor da integral quando ela converge ? Trace o gráfico do integrando para vários valores de p .

Passo 1

Incialmente calcularemos a integral impropria, para isso chamaremos b = ∞ , para assim tomarmos o limite de b → ∞ . Sendo assim,

∫ e ∞     x p l n ⁡ ( x ) d x = l i m b → ∞ ∫ e b   x p l n ⁡ ( x ) d x

Utilizando integração por partes, suponha

u = ln ⁡ x ⇒ d u = 1 x d x ,

d v = x p ⇒ v = x p + 1 p + 1

Sendo assim,

∫ e b u   d v = ln ⁡ x x p + 1 p + 1 ​ e b - ∫ e b x p + 1 p + 1 . 1 x d x = ln ⁡ x x p + 1 p + 1 ​ e b -   ∫ e b x p p + 1 d x

= ln ⁡ x x p + 1 p + 1 ​ e b -   1 p + 1 ∫ e b x p   d x = ln ⁡ x x p + 1 p + 1 ​ e b - 1 p + 1 x p + 1 p + 1 ​ e b

= ln ⁡ x x p + 1 p + 1 ​ e b - 1 p + 1 x p + 1 p + 1 ​ e b = ln ⁡ x x p + 1 p + 1 ​ e b - x p + 1 p + 1 2 ​ e b

Logo,

l i m b → ∞ ∫ e b   x p ln ⁡ x d x = l i m b → ∞ ln ⁡ x x p + 1 p + 1 ​ e b - x p + 1 p + 1 2 ​ e b = l i m b → ∞ ln ⁡ x x p + 1 p + 1 ​ e b - l i m b → ∞ x p + 1 p + 1 2 ​ e b

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

= l i m b → ∞ ln ⁡ b ( b ) p + 1 p + 1 - ln ⁡ e ( e ) p + 1 p + 1 - l i m b → ∞ ( b ) p + 1 p + 1 2 - ( e ) p + 1 p + 1 2

= l i m b → ∞ ln ⁡ b ( b ) p + 1 p + 1 - l i m b → ∞ ln ⁡ e ( e ) p + 1 p + 1 - l i m b → ∞ ( b ) p + 1 p + 1 2 - l i m b → ∞ ( e ) p + 1 p + 1 2

Passo 2

Precisamos agora, analisar os valores que p   deve assumir, para que a integral seja convergente.

Analisando o limite que está dando problema ,

l i m b → ∞ ln ⁡ b ( b ) p + 1 p + 1 = 1 p + 1 l i m b → ∞ ln ⁡ b ( b ) p + 1

Desejamos encontrar um valor de p , de maneira que l i m b → ∞ ln ⁡ b ( b ) p + 1 exista. Sendo assim, perceberemos que para p < - 1 , teremos,

1 p + 1 l i m b → ∞ ln ⁡ b ( b ) p + 1 = 1 p + 1 l i m b → ∞ l n ⁡ ( b ) ( b ) - ( p + 1 ) = 1 p + 1 ∞ ∞ = ∞ ∞

Isso acontece, pois como p < - 1 ⇒ p + 1 < 0 então a potência vai para o denominador com o expoente positivo.

Chegamos numa indeterminação do tipo ∞ ∞ . Com isso, podemos utilizar L’Hospital, ou seja,

l i m b → ∞ 1 b - p + 1 b - p = l i m b → ∞ 1 b - p + 1 b - p = l i m b → ∞ 1 b 1 - p + 1 b - p

= l i m b → ∞ 1 - p + 1 b - p + 1 = 0

Já quando olhamos para o outro limite e supomos que p < - 1 obtemos também que

l i m b → ∞ ( b ) p + 1 p + 1 2 = l i m b → ∞ 1 ( b ) p + 1 p + 1 2 = 0

Portanto,

l i m b → ∞ ∫ e b   x p ln ⁡ x d x = l i m b → ∞ ln ⁡ b b p + 1 p + 1 - l i m b → ∞ ln ⁡ e e p + 1 p + 1 - l i m b → ∞ b p + 1 p + 1 2 - l i m b → ∞ e p + 1 p + 1 2

= 0 - ln ⁡ e e p + 1 p + 1 - 0 - e p + 1 p + 1 2 = 0 + ln ⁡ e e p + 1 - p + 1 + e p + 1 p + 1 2

É importante lembrar que como p < - 1 ⇒ p + 1 < 0   Então isso significa que - p + 1 > 0 . Logo,

l i m b → ∞ ∫ e b   x p ln ⁡ x d x = 0 + ln ⁡ e e p + 1 - p + 1 + e p + 1 p + 1 2 = ln ⁡ e e p + 1 - p + 1 + e p + 1 p + 1 2

Plotando o gráfico de f ( x ) ,

Para x = - 3

Para x = - 7 2

Para x = - 6

Resposta

∫ e ∞     x p ln ⁡ x d x

Converge para p < - 1   ,e quando isso acontece

∫ 0 e   x p l n ⁡ ( x ) d x = ln ⁡ e e p + 1 - p + 1 + e p + 1 p + 1 2

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