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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 62 d

Determine o limite underset(x -> 1^-)(l i m) [(1)/(x^((1)/(3))) + (2)/((x - 1)^((4)/(3)))]

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f (t) = (1)/(x^((1)/(3))) + (2)/((x - 1)^((4)/(3))) quando nos aproximamos de 1 pela esquerda, ou seja por valores menores que um.

Como estamos numa soma, podemos usar a regra da soma “O limite da soma é a soma dos limites”:

underset(x -> 1^-)(l i m) [(1)/(x^((1)/(3))) + (2)/((x - 1)^((4)/(3)))] = underset(x -> 1^-)(l i m) (1)/(x^((1)/(3))) + underset(x -> 1^-)(l i m) (2)/((x - 1)^((4)/(3)))

Pela regra do quociente nas parcelas do limite, temos:

underset(x -> 1^-)(l i m) [(1)/(x^((1)/(3))) + (2)/((x - 1)^((4)/(3)))] = underset(x -> 1^-)(l i m) (1)/(x^((1)/(3))) + underset(x -> 1^-)(l i m) (2)/((x - 1)^((4)/(3))) = (underset(x -> 1^-)(l i m) 1)/(underset(x -> 1^-)(l i m) x^((1)/(3))) + (underset(x -> 1^-)(l i m) 2)/(underset(x -> 1^-)(l i m) (x - 1)^((4)/(3)))

Passo 2

Se ligue que 2 não depende de x, então underset(x -> 1^-)(l i m) 2 = 2 , pelo mesmo motivo underset(x -> 1^-)(l i m) 1 = 1 . Substituindo os resultados nessa bagaçada, ficamos :

(underset(x -> 1^-)(l i m) 1)/(underset(x -> 1^-)(l i m) x^((1)/(3))) + (underset(x -> 1^-)(l i m) 2)/(underset(x -> 1^-)(l i m) (x - 1)^((4)/(3))) = (1)/(1) + (2)/(0)

Ps: Não escreve o (2)/(0) na sua prova, man senão teu professor vai te meter um zero. Fiz isso aqui so pra você perceber que o numerador não se anula, enquanto o denominador se anula, isso significa dizer que a nossa expressão tende a oo . Vamos analisar o ‘sinal’ desse oo .

Passo 3

Vamos olhar primeiro para essa parcela do limite:

underset(x -> 1^-)(l i m) (x - 1)^((4)/(3))

Como estamos próximo a zero pela esquerda, então estamos com valores negativos, mas

underset(x -> 1^-)(l i m) (x - 1)^((2)/(3)) = underset(x -> 1^-)(l i m) root(3)((x - 1)^4) >= 0

Por aquela paradinha: quem tá na sombra passa pro sol, quem tá no sol passa pra sombra.

Daí,

(2)/(0) = oo

Dando uma roubadinha, poderíamos pensar assim:

1 - oo

Como oo é muito grande e só estamos adicionando 2 a ele. Então, isso me retornaria algo grade com sinal negativo. Ou seja,

1 - oo = - oo

Beleza?

Passo 4

Mas como eu disse, não é aquilo que você vai escrever na prova, então veja só como você botaria lá:

underset(x -> 1^-)(l i m) [(1)/(x^((1)/(3))) + (2)/((x - 1)^((4)/(3)))] = - oo

Resposta

underset(x -> 1^-)(l i m) [(1)/(x^((1)/(3))) + (2)/((x - 1)^((4)/(3)))] = - oo

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31-36. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto. Em casa caso, para mostrar que lim x → a ⁡ f x = L , fatore f x - L como: f x - L = " a l g u m ac o i s a " . x - a E, então,
Seja: f x = 0 , c o mxr a c i o n a l 1 , c o mxi r r a c i o n a l Use a definição 1.4.1 para provar que não existe lim x → 0 ⁡ f x . [Sugestão: Suponha que lim x → 0 ⁡ f x = L e aplique a Definição
39. b) Encontre o menor número positivo N , tal que, para cada ponto x no intervalo N ,+ ∞ , o valor da função f x = x x + 1 não esteja mais longe do que 0,01 unidade de L = 1 .
40. Em cada parte, encontre o menor número positivo N , tal que para cada ponto x no intervalo N ,+ ∞ , a função f x = 1 x 3 não esteja mais longe do que ε unidades do número L = 0 .a) ϵ = 0,1