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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 5

5 - O sólido está situado entre os planos perpendiculares ao eixo x em x = 0 e x =   4 . As seções transversais do sólido perpendiculares ao eixo x entre esses planos são discos circulares cujos diâmetros vão da curva x 2 = 4 y à curva y 2 = 4 x .

Passo 1

Observe a imagem abaixo:

Observe a imagem gerada pelo encontro das curvas e ao lado a plotagem do sólido de revolução.

Para calcular o volume usaremos:

V =   ∫ a b A x d x

Convertendo os diâmetros teremos:

x 2 = 4 y ⇒ y = x 2 4

y 2 = 4 x → y = 4 x ⇒ y = 2 x

A x = π 4 d i â m e t r o 2

A x =   π 4 2 x - x 2 4 2 = π 4 4 x - x 2 x + x 4 16

Os limites de integração pelo enunciado é a = 0   e   b = 4 .

Passo 2

Inserindo na integral, dado pela figura os limites de integração: a = 0   e   b = 4 .

∫ 0 4 π 4 4 x - x 2 x + x 4 16   d x

π 4 ∫ 0 4 4 x - x 2 ⋅ x 1 2 + x 4 16   d x

π 4 ∫ 0 4 4 x - x 5 2 + x 4 16   d x

Resolvendo a integral teremos:

V = π 4   4 x 2 2 - x 5 2 + 1 5 2 + 1 + x 5 5 ⋅ 16 0 4

V = π 4 2 x 2 - x 7 2 7 2 + x 5 80 0 4

V = π 4 2 x 2 - 2 x 7 7 + x 5 80 0 4

Inserindo assim os limites de integração:

V = π 4 2 ⋅ 4 2 - 2 4 7 7 + 4 5 80

V = π 4 32 - 2 ⋅ 2 7 7 + 1024 80

V = π 4 32 - 256 7 + 1024 80

Assim:

V = π 4 288 35 = 72 π 35

Resposta

72 35 π

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