36 - Use um teorema de Pappus para determinar o volume gerado pela rotação em torno da reta x = 5 da região triangular delimitada pelos eixos coordenados e pela reta 2x + y = 6 .

Passo 1

Primeiramente vamos plotar o gráfico da figura, assim teremos:

O ponto A esta destacado em: 3 2 , 3 , assim a equação da mediana é y = 2 x e nesta linha contem a centroide. E o ponto é 3 5 2 distante da origem, para saber a distancia de x faremos:

x - 3 2 2 + 2 x - 3 2 = 5 2 ⇒ x 2 - 3 x + 9 4 + 4 x 2 - 12 x + 9 = 5 4

Assim:

5 x 2 - 15 x + 45 4 = 5 4

Resolvendo a equação teremos:

x 1 = 1   e   x 2 = 2

Desta forma:

x - = 1   e   y - = 2

Pelo Teorema de Pappus resolveremos:

V = ( 2 π ) ( ρ ) ( A )

Deste modo:

V = 2 π 5 - x - 1 2 ⋅ 6 ⋅ 3

V = 2 π 5 - 1 9

V = 2 π 4 9  

V = 72 π

Resposta

72 π

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