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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.4 - Ex. 32

Determine o limite a seguir

underset(x -> 0)(lim) (x - x c o s x)/(s e n^2 3 x)

Passo 1

Já sabemos que

underset(theta -> 0)(lim) (s e n theta)/(theta) = underset(theta -> 0)(lim) (theta)/(s e n theta) = 1

Precisamos encontrar uma expressão parecida com essa então...

Primeiramente, vamos isolar o x no numerador

underset(x -> 0)(lim) (x - x c o s x)/(s e n^2 3 x) = underset(x -> 0)(lim) (x ( 1 - c o s x ))/(s e n^2 3 x)

Agora, vamos dividir o numerador e o denominador por 9 x^2 , isso vai nos ajudar a usar o limite que já conhecemos... Observa só

underset(x -> 0)(lim) (x (1 - cos x))/(s e n^2 3 x) = underset(x -> 0)(lim) ((x (1 - cos x))/(9 x^2))/((s e n^2 3 x)/(9 x^2)) = (underset(x -> 0)(l i m) (x (1 - cos x))/(9 x^2))/(underset(x -> 0)(l i m) (s e n^2 3 x)/(9 x^2)) = (underset(x -> 0)(l i m) ((1 - cos x))/(9 x))/(underset(x -> 0)(l i m) ((s e n 3 x)/(3 x))^2) = ((1)/(9) underset(x -> 0)(l i m) ((1 - cos x))/(x))/(underset(x -> 0)(l i m) ((s e n 3 x)/(3 x))^2)

Ou seja

((1)/(9) underset(x -> 0)(l i m) (( 1 - c o s x ))/(x))/(underset(x -> 0)(l i m) ((s e n 3 x)/(3 x))^2) = ((1)/(9) ( 0 ))/(1^2) = 0

Resposta

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