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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 30

Determine os limites nos Exercícios 23-42.

underset(y -> 0)(lim) (5 y^3 + 8 y^2)/(3 y^4 - 16 y^2)

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é y = 0 e a função f (y) = (5 y^3 + 8 y^2)/(3 y^4 - 16 y^2) . Então, temos que

f ( 0 ) = (5 ( 0 )^3 + 8 ( 0 )^2)/(3 ( 0 )^4 - 16 ( 0 )^2) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver um polinômio no numerador e no denominador, vamos tentar fatorar esses polinômios.

Nesse caso, precisamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador. Vamos começar pelo numerador.

Vamos combinar que sempre que tivermos um polinômio do 3º grau, vamos primeiro ver se não tem como colocar nenhum termo em evidência!

Nesse caso, temos que

5 y^3 + 8 y^2 = y^2 ( 5 y + 8 )

Pronto, já fatoramos!

Passo 4

Agora vamos analisar o denominador 3 y^4 - 16 y^2 . Quando tivermos um polinômio de grau 4, também vamos tentar primeiro colocar algum termo em evidencia!

3 y^4 - 16 y^2 = y^2 ( 3 y^2 - 16 )

Vamos juntar tudo então

underset(y -> 0)(lim) (5 y^3 + 8 y^2)/(3 y^4 - 16 y^2) = underset(y -> 0)(lim) (y^2 ( 5 y + 8 ))/(y^2 ( 3 y^2 - 16 )) = underset(y -> 0)(lim) (( 5 y + 8 ))/(( 3 y^2 - 16 ))

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

underset(y -> 0)(lim) (( 5 y + 8 ))/(( 3 y^2 - 16 )) = (5 (0) + 8)/(3 (0)^2 - 16) = - (1)/(2)

Resposta

underset(y -> 0)(lim) (5 y^3 + 8 y^2)/(3 y^4 - 16 y^2) = - (1)/(2)

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