Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 30
30. a) Mostre que:
b) Será limitado se ? Se não for, explique; se for, encontre uma cota.
c) Será limitado se ? Se não for, explique; se for, encontre uma cota.
d) Preencha as lacunas para completar a prova de que:
Suponha que . Tome e suponha que . Então:
Passo 1
a) Então pessoal, a igualdade que nos foi dada é a seguinte:
Mexendo no lado esquerdo, teremos:
Disso tiramos que:
Como queríamos demonstrar! Vale ressaltar que como a função está dentro do módulo, ser ou não faz diferença, beleza?! Show!
Passo 2
b) Para respondermos à pergunta vamos encontrar a restrição para , ok? Temos que:
Retirando o módulo, teremos:
Tudo bem, encontramos um intervalo interessante. Para a nossa função, temos que não pode ser:
Uma vez que está no denominador! Como há apenas um valor dentre o intervalo encontrado que não pode ser aplicado, podemos dizer que não é limitado.
Passo 3
c) Para respondermos à pergunta vamos encontrar a restrição para , ok? Temos que:
Retirando o módulo, teremos:
Tudo bem, encontramos um intervalo interessante. Para a função que nos foi dada temos que:
Dessa forma:
Então sim, nossa função fica limitada.
Passo 4
d) De início temos que calcular o para nosso limite, ok? Da definição de limite temos que:
Se, para qualquer número , pudermos encontrar um número tal que:
Sendo assim:
Mas só se:
Comparando as duas condições, temos que:
Passo 5
De acordo com o que calculamos no passo , teremos que:
Os valores em negrito são as lacunas que preenchemos, ok? Aqui utilizamos apenas os dados que encontramos nos outros passos, galera! E está aí nosso resultado!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)