Seja:

f x = 0 ,     c o m   x   r a c i o n a l x ,     c o m   x   i r r a c i o n a l

Use a definição 1.4.1 para provar que lim x → 0 ⁡ f x = 0 .

Passo 1

Então galera, da definição rigorosa de limites temos que:

lim x → a ⁡ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que:

f x - L < ϵ   s e   0 < x - a < δ

Se ϵ > 0 teremos que δ = 0 . Ademais, pela definição:

0 < x - 0 < δ

0 < x < δ

Se:

f x - 0 = 0 < ϵ

Isso só ocorre se x for racional. Por outro lado, temos que:

f x - 0 = x < ϵ

Comparando os resultados, teremos que:

δ = ϵ

Mas isso só ocorre se x for irracional. Dessa forma, fica provado que, de fato, lim x → 0 ⁡ f x = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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