Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 9
Determine se é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função tal que
Passo 1
Oi, galera! Tudo bem?
A questão pede para determinarmos se:
É ou não um campo vetorial conservativo e, se sim, para determinarmos uma função tal que seja igual a .
Se é:
Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:
Então, vamos precisar resolver as duas derivadas acima para entender se elas são iguais e se nosso campo é de fato conservativo.
Caso nosso campo seja de fato conservativo, vamos achar a função tal que . Para isso precisamos integrar nossa nossa componente:
Essa integral nos dará uma função constante , e para encontrar seu valor vamos derivar nossa função potencial que acabamos de encontrar pela integral, em relação a :
E teremos a derivada dessa função constante que estamos procurando, que é . Para encontrarmos o valor dela, fazemos:
Agora que encontramos a derivada , ainda vamos precisar encontrar a função original , e para isso basta resolvermos:
Daí substituímos essa função constante, e teremos enfim nossa função tal que .
Vamos lá!
Passo 2
Primeiro de tudo, vamos verificar que esse campo é conservativo.
Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais,
Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:
Nossa função é:
Então as componentes serão:
E:
Bora calcular nossas derivadas parciais!
Derivando em e tratando como constante:
Derivando em e tratando como constante:
Como:
Provamos que:
E, portanto, nosso campo é sim conservativo! Beleza! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!
Passo 3
Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo e integrar em relação à :
Isso vai nos dar a função potencial mais uma constante só de , digamos (pois derivando em relação à ela desaparece, sacou?). Então, o resultado da nossa integral é:
Pronto! Essa é a função potencial!
Tá, mas e aquela função de ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!
Passo 4
Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à :
Derivando em , tratando como constante:
Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo a componente do campo dado:
E agora vamos igualar os dois lados!
Resolvendo a equação, temos:
Agora só nos resta integrar em para achar seu valor:
Onde é uma constante qualquer.
Agora sim! Juntando com o resultado do passo temos a função potencial completa: