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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 1

Quais campos nos Exercícios 1-6 são conservativos e quais não são?

F = y z i + x z j + x y k

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos que, de acordo com o teste das componentes para campos conservativos da página 386 do nosso livro, F → = M ( x , y , z ) i → + N ( x , y , z ) j → + P ( x , y , z ) k → , é um campo vetorial cujos componentes possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Então, F → será conservativo se, e somente se for:

∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z , ∂ M ∂ z = ∂ P ∂ x , ∂ N ∂ x = ∂ M ∂ y

Passo 2

O passo seguinte é aplicar o teste das componentes para campos conservativos. Confira a seguir.Sendo F → = y z i → + x z j → + x y k → , temos que:

M ( x , y , z ) = y z , ∂ M ∂ z = y , ∂ M ∂ y = z N ( x , y , z ) = x z , ∂ N ∂ z = x , ∂ N ∂ x = z P ( x , y , z ) = x y , ∂ P ∂ y = x , ∂ P ∂ x = y  Logo:  ∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z , ∂ M ∂ z = ∂ P ∂ x , ∂ N ∂ x = ∂ M ∂ y

Resposta

Desse modo finalizamos o exercício e encontramos: F → = y z i → + x z j → + x y k → é conservativo.

Exercícios de Livros Relacionados

3-10. Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .3. F x ,y = x y + y 2 i + x 2 + 2 x y j
Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f . F → x ,y = y e x i ^ + e x + e y j ^
Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f . F x ,y = y 2 e x y i + 1 + x y e x y j
Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .4- F x , y = x 3 + 4 x y i + 4 x y - y 3 j
Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .5- F x , y = x e yi + y e x j