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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 6

Quais campos nos Exercícios 1-6 são conservativos e quais não são?

F = e x c o s ⁡ y i - e x s e n ⁡ y j + z k

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos que, de acordo com o teste das componentes para campos conservativos da página 386 do livro, F → = M ( x , y , z ) i → + N ( x , y , z ) j → + P ( x , y , z ) k → , isto é, um campo vetorial cujas componentes possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Então, F → será conservativo se, e somente se apresentar desta forma:

∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z , ∂ M ∂ z = ∂ P ∂ x , ∂ N ∂ x = ∂ M ∂ y

Passo 2

Apliquemos o teste das componentes para campos conservativos em:Sendo F → = e x c o s ⁡ y i → - e x s e n ⁡ y j → + z k → , temos que:

M ( x , y , z ) = e x c o s ⁡ y , ∂ M ∂ z = 0 , ∂ M ∂ y = - e x s e n ⁡ y N ( x , y , z ) = - e x s e n ⁡ y , ∂ N ∂ z = 0 , ∂ N ∂ x = - e x s e n ⁡ y P ( x , y , z ) = z , ∂ P ∂ y = 0 , ∂ P ∂ x = 0  Logo:  ∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z , ∂ M ∂ z = ∂ P ∂ x , ∂ N ∂ x = ∂ M ∂ y

Resposta

Desse modo encontramos o resultado:

F → = ( y s e n ⁡ z ) i → + ( x s e n ⁡ z ) j → + ( x y c o s ⁡ z ) k →  é conservativo. 

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .9- F x , y = y e x + s e ny i + ( e x + x cos ⁡ y ) j
Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .6- F x , y = e y i + x e y j
Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .7- F x , y = 2 x c o sy - y cos ⁡ x i + - x 2 s e ny - s e nx j
Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .8- F x , y = 1 + 2 x y + ln ⁡ x i + x 2 j
Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .3- F x , y = 6 x + 5 y i + 5 x + 4 y j