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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 11

Nos Exercícios 7-12, encontre uma função potencial ƒ para o campo F

F = l n ⁡ x + s e c 2 ⁡ ( x + y ) i + s e c 2 ⁡ ( x + y ) + y y 2 + z 2 j + z y 2 + z 2 k

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Como você já sabe definimos um campo F ‾ como conservativo se F ‾ for um campo gradiente ∇ → f para uma função derivável f .Com isso em mente, vamos para a resolução!

Passo 2

Seja o campo F → = l n ⁡ x + s e c 2 ⁡ ( x + y ) i → + s e c 2 ⁡ ( x + y ) + y y 2 + z 2 j → + z y 2 + z 2 k → = ∇ ‾ f E

∇ → f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → ,

Podemos escrever então que:

∂ f ∂ x = l n ⁡ x + s e c 2 ⁡ ( x + y ) , ∂ f ∂ y = s e c 2 ⁡ ( x + y ) + y y 2 + z 2 , ∂ f ∂ z = z y 2 + z 2

Passo 3

Assim, temos:Se ∂ f ∂ z = z y 2 + z 2 então f ( x , y , z ) = 1 2 l n ⁡ y 2 + z 2 + g ( x , y ) Se ∂ f ∂ x = ∂ g ∂ x = l n ⁡ x + s e c 2 ⁡ ( x + y ) então g ( x , y ) = ( x l n ⁡ x - x ) + t a n ⁡ ( x + y ) + h ( y ) Ou seja, f ( x , y , z ) = 1 2 l n ⁡ y 2 + z 2 + ( x l n ⁡ x - x ) + t a n ⁡ ( x + y ) + h ( y ) Se ∂ f ∂ y = y y 2 + z 2 + s e c 2 ⁡ ( x + y ) + d h d y = s e c 2 ⁡ ( x + y ) + y y 2 + z 2 então ∂ h ∂ y = 0   h ( y ) = C

Resposta

f ( x , y , z ) = 1 2 l n ⁡ y 2 + z 2 + ( x l n ⁡ x - x ) + t a n ⁡ ( x + y ) + C

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