Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .

6-

F x , y = e y i + x e y j

Passo 1

Vamos aplicar a igualdade para vermos se o campo é conservativo ou não.

F = P i + Q j

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

O que nos dá para essa questão:

∂ e y ∂ y = ∂ x e y ∂ x

e y = e y

Logo o campo é conservativo.

Passo 2

Então existe uma função F potencial cujo valor de f x = e y e f y = x e y e fazendo a integral em x de f x teremos:

F = x e y + g ( y )

Onde g ( y ) é uma função em relação a y cuja derivada em x faz ela se zerar, dessa formar derivando em relação a y essa função f encontrada teremos:

f y = x e y + g y ( y )

Comparando os dois f y vemos g y y = 0 , logo a função potencial (integrando em y ) será igual a:

F = x e y + C

Onde C é uma constante qualquer.

Resposta

Campo conservativo.

F = x e y + C

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