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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.12 - Ex. 11

Use um sistema de computação algébrico computacional para encontrar os polinômios de Taylor de ordem T n em a = 0 para os valores de n dados. Então, plote esses polinômios e f na mesma tela.

f x = sec ⁡ x ,     n = 2,4 , 6,8

Passo 1

Bom, vamos começar relembrando o que é um polinômio de Taylor. Ele consiste em nada mais e nada menos que um polinômio obtido através do truncamento da série de Taylor. Logo,

T n x = ∑ i = 0 n f i a i !   x - a i

Como o nosso maior polinômio é o de ordem 8 , nosso foco será descrevê-lo. A partir dele, é só retirar alguns outros termos para conseguir os polinômios de ordem 2, 4, 6 e 8. Portanto, o polinômio de ordem 8 será:

T 8 x = f 0 0 0 ! x 0 + f 1 0 1 ! x 1 + … + f 8 0 8 ! x 8

Temos agora que descobrir quem são essas derivadas da nossa função!

Passo 2

Nosso trabalho agora será derivar a função oito vezes e aplicar o ponto x = 0 . Com isto, temos:

f x = sec ⁡ x ⟹ f 0 = 1

f ' x = sec ⁡ x tan ⁡ x ⟹ f ' 0 = 0

f ' ' x = sec ⁡ x tan 2 ⁡ x + sec 3 ⁡ x ⟹ f ' ' 0 = 1

f 3 x = sec ⁡ x tan 3 ⁡ x + 5 sec 3 ⁡ x tan ⁡ x ⟹ f 3 0 = 0

f 4 x = sec ⁡ x tan 4 ⁡ x + 18 sec 3 ⁡ x tan 2 ⁡ x + 5 sec 5 ⁡ x ⟹ f 4 0 = 5

f 5 x = sec ⁡ x tan 5 ⁡ x + 5 8 sec 3 ⁡ x tan 3 ⁡ x + 61 sec 5 ⁡ x tan ⁡ x ⟹ f 5 0 = 0

f 6 x = sec ⁡ x tan 6 ⁡ x + 179 sec 3 ⁡ x tan 4 ⁡ x + 479 sec 5 ⁡ x tan 2 ⁡ x + 61 sec 7 ⁡ x ⟹ f 6 0 = 61

f 7 x = sec ⁡ x tan 7 ⁡ x + 543 sec 3 ⁡ x tan 5 ⁡ x + 3111 sec 5 ⁡ x tan 3 ⁡ x + 1385 sec 7 ⁡ x tan ⁡ x ⟹ f 7 0 = 0

E por fim,

f 8 x = sec ⁡ x tan 8 ⁡ x + 1636 sec 3 ⁡ x tan 6 ⁡ x + 18720 sec 5 ⁡ x tan 4 ⁡ x + 19028 sec 7 ⁡ x tan 2 ⁡ x + 1385 sec 9 ⁡ x ⟹ f 8 0 = 1385

Portanto, os polinômios de Taylor são:

T 2 x = 1 + 1 2 x 2

T 4 x = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4

T 6 x = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6

T 8 x = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6 + 1385 40320 x 8

Passo 3

Agora que obtivemos os nossos polinômios de Taylor, vamos fazer seus plots e comparar com a função original. Utilizando softwares para nos auxiliar, temos:

Resposta

T 2 x = 1 + 1 2 x 2

T 4 x = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4

T 6 x = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6

T 8 x = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6 + 1385 40320 x 8

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