Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.1 - Ex. 71

Determine os pontos críticos,extremidades de domínio e valores extremos (absolutos e locais) da função:

y = x 4 - x 2

Passo 1

Para encontrarmos os pontos críticos, precisamos derivar a equação e iguala-la a 0.

Em seguida faremos o teste da segunda derivada para classificar os pomtos críticos encontrados.

Por fim, analisaremos o comportamento da função, os seus limites de existência.

Passo 2

Derivando a equação pela regra do produto, obtemos:

y ' = 4 - x 2 + x 2 4 - x 2 × - 2 x

y ' = 4 - x 2 - x 2 4 - x 2

y ' = 4 - x 2 - x 2 4 - x 2 = 4 - 2 x 2 4 - x 2

Passo 3

Igualando a derivada a 0, temos:

4 - 2 x 2 4 - x 2 = 0

4 - 2 x 2 4 - x 2 × 4 - x 2 4 - x 2 = 0

4 - 2 x 2 4 - x 2 4 - x 2 = 0

4 - 2 x 2 4 - x 2 = 0

4 - 2 x 2 = 0

x 2 = - 4 - 2

x = ± 2

4 - x 2 = 0

4 - x 2 = 0

x 2 = 4

x = ± 2

Passo 4

Substituindo na expressão original, teremos:

y 2 = 2 4 - 2 2 = 2

y - 2 = - 2 4 - - 2 2 = - 2

y 2 = 2 4 - 2 2 = 0

y - 2 = - 2 4 - ( - 2 ) 2 = 0

Passo 5

Calculando a segunda derivada, teremos:

y ' ' = - 4 x 4 - x 2 - 4 - 2 x 2 × - 2 x 2 4 - x 2 4 - x 2

y ' ' = - 4 x 4 - x 2 - - 4 x + 2 x 3 4 - x 2 4 - x 2

y ' ' = - 4 x 4 - x 2 + 4 x - 2 x 3 4 - x 2 4 - x 2

y ' ' = - 16 x + 4 x 3 + 4 x - 2 x 3 4 - x 2 4 - x 2

y ' ' = - 12 x + 2 x 3 4 - x 2 3 2

Passo 6

Igualando y ' ' = 0 , teremos:

- 12 x + 2 x 3 4 - x 2 3 2 = 0

- 12 x + 2 x 3 4 - x 2 3 2 × 4 - x 2 1 2 4 - x 2 1 2 = 0

- 12 x + 2 x 3 4 - x 2 4 - x 2 2 = 0

- 12 x + 2 x 3 4 - x 2 = 0

x - 12 + 2 x 2 4 - x 2 = 0

x 1 = 0

- 12 + 2 x 2 = 0

x 2 = 12 2

x 2 = + 6       x 3 = - 6

4 - x 2 = 0

4 - x 2 = 0

x 2 = 4

x 4 = + 2       x 5 = - 2

Segundo o teste da segunda derivada, temos um ponto de inflexão, 2 pontos de máximo e 2 pontos de mínimo.

Resposta

P o n t o   d e   i n f l e x ã o   e m   x = 0 ,

M á x i m o   l o c a l   e m   x = - 2

M í n i m o   g l o b a l   e m   x = - 2  

M á x i m o   g l o b a l   e m   x = 2

M i n i m o   l o c a l   e m   x = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os valores mínimo e máximo absolutos de cada função nos intervalos dados. Em seguida, esboce o gráfico da função. Identifique os pontos no gráfico em que os extremos absolutos ocorrem e incl
Determine os valores mínimo e máximo absolutos de cada função nos intervalos dados. Em seguida, esboce o gráfico da função. Identifique os pontos no gráfico em que os extremos absolutos ocorrem e incl
Determine os valores mínimo e máximo absolutos de cada função nos intervalos dados. Em seguida, esboce o gráfico da função. Identifique os pontos no gráfico em que os extremos absolutos ocorrem e incl
Determine os valores mínimo e máximo absolutos de cada função nos intervalos dados. Em seguida, esboce o gráfico da função. Identifique os pontos no gráfico em que os extremos absolutos ocorrem e incl
Determine os valores mínimo e máximo absolutos de cada função nos intervalos dados. Em seguida, esboce o gráfico da função. Identifique os pontos no gráfico em que os extremos absolutos ocorrem e incl