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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.3 - Ex. 10

Nos Exercícios 5-10, determine as trajetórias ortogonais da família de curvas. Esboce vários membros de cada família.

10 - y = e k x

Passo 1

y = e k x ⇒ ln ⁡ y = k x

Logo:

k = ln ⁡ y x

Assim derivando:

x 1 y y ' - ln ⁡ y x 2 = 0

x 1 y y ' - ln ⁡ y = 0

x y y ' = ln ⁡ y

y ' = ln ⁡ y x y

y ' = y ln ⁡ y x

Para a ortogonalidade, teremos:

d y d x = - x y ln ⁡ y

Assim:

y ln ⁡ y   d y = - x   d x

Precisaredmos integrar a função:

∫ y ln ⁡ y   d y = ∫ - x d x

A s s i m :

y 2 2 ln ⁡ y - 1 4 y 2 = - x 2 2 + c

Poderemos simplificar se multiplicarmos toda a expressão por 2:

y 2 ln ⁡ y - y 2 2 = - x 2 + C

Resposta

y 2 ln ⁡ y - y 2 2 = - x 2 + C

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