Enunciado

Determine os valores mínimo e máximo absolutos de cada função nos intervalos dados. Em seguida, esboce o gráfico da função. Identifique os pontos no gráfico em que os extremos absolutos ocorrem e inclua suas coordenadas.

Passo 1

Para determinar os valores máximo e mínimo absolutos, podemos fazer a derivada da função dada e igualar este resultado a zero (encontrar ponto(s) crítico(s)). Fazendo esse procedimento, temos que:

g ' x = - c o s s e c ( x ) c o t g ( x ) = 0

A primeira derivada da função fornecida, depois que igualada a zero, nos dá x = π / 2 como a solução, ou seja, este ponto é o ponto crítico que deve ser avaliado:

Para x < π / 2 , g ' ( x ) é negativo;

Para x < π / 2 , g ' ( x ) é positivo.

Com isso, pode-se dizer que x = π / 2 é um ponto de mínimo local.

Assim, caso existam outros extremos absolutos, eles serão determinados através do esboço do gráfico da função.

Passo 2

Fazendo o esboço do gráfico da função é possível tirar algumas conclusões sobre a função e, também, verificar se existem extremos absolutos e onde eles existem. Nesse caso, o intervalo é fechado, portanto podemos verificar os pontos extremos desse intervalo.

x = π / 2 x = π / 3 x = 2 π / 3

Passo 3

Logo, para saber as coordenadas de cada ponto em que existe um extremo absoluto temos:

π 3 , 2 3           ,           π 2 ,   1           e           2 π 3 , 2 3

Resposta

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