Determine os pontos aos quais a curva r = 4 + 3 cos(θ) tem retas tangentes horizontal e vertical. Faça um esboço gráfico com essas retas tangentes.

Passo 1

Primeiro, em questões que envolvem retas tangentes, sempre temos aquelas equaçõeszinhas que não podem se perderem na nossa mão!! Aí vão elas:

x = r c o s ( θ )

y = r s e n ( θ )

d x d y = s e n θ + r c o s ( θ ) cos ⁡ θ - r s e n ( θ )

Logo, para o nosso caso, temos que:

r = 4 + 3 c o s ( θ )

Portanto:

x = ( 3 - 3 s e n θ ) c o s ( θ )

y = ( 3 - 3 s e n θ ) s e n ( θ )

d x d y = s e n θ + ( 3 - 3 s e n θ ) c o s ( θ ) cos ⁡ θ - ( 3 - 3 s e n θ ) s e n ( θ )

Passo 2

Agora vamos resumir a nossa equação para então encontrarmos os pontos em que nossa retas são tangentes.

d x d y = s e n θ + 3 c o s ( θ ) - 3 s e n θ c o s ( θ ) cos ⁡ θ - 3 s e n ( θ ) - 3 s e n 2 θ

Para a nossa equação, temos esse esboço:

Sim, a nossa equação é quase um cardioide!! Para isso, temos que nossos pontos são de:

x = - 1

x = 7

Passo 3

Sabendo disso, temos que as nossas retas se encontram em x=-1 e x= 7

Resposta

d x d y = - 1 7

Retas:

X=-1

X=7

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