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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 49

Determine a primeira e a segunda derivadas das funções nos Exercícios 45-52.

w = 1 + 3 z 3 z 3 - z

Passo 1

A questão pede para obter a primeira e a segunda derivadas de w z . Como temos um produto, utilizaremos da regra do produto

w ' = f ∙ g ' = f ' ∙ g + f ∙ g '

Passo 2

Obtendo a derivada de ordem 1:

w ' = 1 + 3 z 3 z 3 - z '

w ' = 1 + 3 z 3 z ' 3 - z + 1 + 3 z 3 z 3 - z '

Como temos uma fração em f z = 1 + 3 z 3 z , utilizaremos a regra do quociente, assim

f ' z = 1 + 3 z 3 z ' = 1 + 3 z ' 3 z - 1 + 3 z 3 z ' 3 z 2

f ' z = 0 + 3 z 1 - 1 3 z - 1 + 3 z 3 z 1 - 1 9 z 2

f ' z = 3 ∙ 3 z - 1 + 3 z ∙ 3 9 z 2

f ' z = 9 z - 3 - 9 z 9 z 2

f ' z = - 3 9 z 2

f ' z = - 1 3 z 2

Substituindo f ' z na equação w '

w ' = - 1 3 z 2 3 - z + 1 + 3 z 3 z 0 - z 1 - 1

w ' = - 1 z 2 + 1 3 z + 1 + 3 z 3 z - 1

w ' = - 1 z 2 + 1 3 z - 1 3 z - 1

w ' = - 1 z 2 - 1

Pronto, calculamos a primeira derivada de w z .

Passo 3

A próxima derivada é obtida por:

w ' ' = - 1 z 2 - 1 '

w ' ' = - z - 2 - 1 '

w ' ' = - 1 ∙ - 2 z - 2 - 1 + 0

w ' ' = 2 z - 3 = 2 z 3

Fim!!!

Resposta

w ' = - 1 z 2 - 1

w ' ' = 2 z 3

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