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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 51

No Exercício y = int_0^(s e n x) (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t , determine (d y)/(d x) . Com |x| < (pi)/(2)

Passo 1

Para determinar o valor de (d y)/(d x) vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: (d)/(d x) int_a^b f ( x ) d x = f (b) . ( b ) '

Passo 2

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos:

y = int_0^(s e n x) (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t

(d y)/(d x) = (d)/(d x) int_0^(s e n x) (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t

Após colocar a derivada dos dois lados basta aplicar o Teorema fundamental do Cálculo:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) int_0^(s e n x) (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t

= (1)/(sqrt(1 - s e n^2 x)) . ( s e n x ) '

= (1)/(sqrt(1 - s e n^2 x)) . cos x

Vamos usar a identidade trigonométrica, c os^2 x = 1 - s e n^2 x , e agora substituimos:

= (1)/(sqrt(c os^2 x)) . cos x

= (1)/(cos x) . cos x

= 1

Desde que |x| < (pi)/(2)

Resposta

(d y)/(d x) = 1

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