No Exercício   y = ∫ 0 s e n   x   1 1 - t 2   d t   , determine dy/dx Com |x| < pi / 2

Passo 1

Para determinar o valor de d y d x vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: d d x ∫ a b f ( x ) ⁡ d x = f b . ( b ) '

Passo 2

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos:

y = ∫ 0 s e n   x   1 1 - t 2   d t  

d y d x = d d x   ∫ 0 s e n   x   1 1 - t 2   d t    

Após colocar a derivada dos dois lados basta aplicar o Teorema fundamental do Cálculo:

d y d x = d d x   ∫ 0 s e n   x   1 1 - t 2   d t      

= 1 1 - s e n 2   x     .   ( s e n   x ) '

= 1 1 - s e n 2   x     . cos ⁡ x

Vamos usar a identidade trigonométrica, c os 2 ⁡ x = 1 - s e n 2   x , e agora substituimos:

= 1 c os 2 ⁡ x     . cos ⁡ x

= 1 cos ⁡ x   . cos ⁡ x

= 1

Desde que x <   π 2

Resposta

d y d x = 1

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