Determine a primitiva mais geral ou a integral indefinida. Confira suas respostas por diferenciação

∫ cossec ⁡ θ cossec ⁡ θ - sen ⁡ θ d θ

Passo 1

Antes de mais nada precisamos lembrar que a derivada é a função inversa da integral.

A primitiva resulta desse processo. Nesse caso trabalharemos com as funções trigonométricas.

Passo 2

Do jeito que a função está, é meio impossível resolvê-la com primitivas. Portanto, abriremos ela como função de seno e cosseno.

∫ 1 sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ - sen ⁡ θ d θ

Como podemos ver na equação acima, tudo depende de seno. Portanto, usaremos sen ⁡ θ sen ⁡ θ para simplificar a expressão.

∫ 1 sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ - sen ⁡ θ × sen ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

∫ sen ⁡ θ sen ⁡ θ sen ⁡ θ sen ⁡ θ - sen ² ⁡ θ d θ = ∫ 1 1 - sen 2 ⁡ θ d θ

Usando a identidade fundamental da trigonometria, simplificaremos ainda mais a equação, usando: sen ² ⁡ θ + cos ² ⁡ θ = 1

∫ 1 cos 2 ⁡ θ   d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ   d θ

Solucionando a integral lembrando das derivadas trigonométricas, teremos:

tg ⁡ θ + C

Somamos a constante de integração á resposta final para garantir que está correta.

Passo 3

Derivando a solução do passo anterior, teremos:

sec ² ⁡ θ + 0 = sec ² ⁡ θ

Que é a mesma resposta do último passo da simplificação anterior.

Resposta

tg ⁡ θ + C

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