19. Encontre a primitiva mais geral da função. (Verifique sua resposta derivando.)

f x = 2 x + 4 sinh ⁡ x

Passo 1

E aí, suave?

A primitiva nada mais é que a integral da função, e quando integramos uma função encontramos a função que quando derivada será a do enunciado, ficou confuso? Saca a imagem que fiz para esclarecer:

Integrais e derivadas de uma mesma função são operações inversas, como a multiplicação e a divisão. Tranquilo até aqui?

Então, vamos pegar a função do enunciado, integral (encontrar a função original) e derivar, se chegarmos a mesma função do começo, acertamos a questão!

Bom galera, e para nos ajudar nessa tarefa, iremos utilizar a seguinte tabela:

A função do enunciado é:

f x = 2 x + 4 sinh ⁡ x

E sinto que estamos prontos para começar!

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos fazer o seguinte, bora separar essa função em duas partes e encontrar as primitivas separadamente, saca só, para 2 x temos que a primitiva será:

2 x ln ⁡ 2 + C

Show de bolinhas, agora para função hiperbólica, temos 4 sinh ⁡ x , onde a primitiva é dada por:

4 cosh ⁡ x + C

Juntando tudo, descobrimos que a primitiva de f ( x ) , é dada como:

F x = 2 x ln ⁡ 2   + 4 cosh ⁡ x + C

Passo 3

Irado né, agora temos a primitiva, podemos conferir o resultado derivando essa função, que fazer o processo inverso, para isso vamos usar a mesma tabela, mas agora temos a primitiva e queremos encontrar a função, logo:

F x = 2 x ln ⁡ 2   + 4 cosh ⁡ x + C

Separando em partes:

2 x ln ⁡ 2 ' = 2 x ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 = 2 x

4 cosh ⁡ x ' = 4 sinh ⁡ x

C ' = 0

Agora sim, juntando tudinho:

F ' x = 2 x + 4 sinh ⁡ x + 0 = 2 x + 4 sinh ⁡ x

E assim provamos que:

F ' x = f x

E voilá, temos que a função F x é de fato a nossa primitiva.

Resposta

F x = 2 x ln ⁡ 2   + 4 cosh ⁡ x + C

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