Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 29
Encontre .
Passo 1
Vamos lá, nessa questão temos que a terceira derivada de uma função é dada por:
E queremos encontrar .
para achar vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de :
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de :
onde é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a não muda em nada sua derivada.
Para achar vamos ter que achar a antiderivada três vezes, vamos lá!
Passo 2
Temos portanto que:
Sua antiderivada será portanto:
E qual função que quando derivamos resulta em
Aqui, podemos usar as seguintes regras. Para o seno:
E para a constante temos:
Logo,
Dessa forma, ao juntarmos tudos e somarmos com a constante temos:
Passo 3
Vamos agora vamos mais uma vez, dessa vez aplicando em .
Para encontrar sua antiderivada:
Vamos usar as seguintes regras: para o cosseno temos:
Logo,
Para uma potência de temos:
Logo,
E para a constante temos:
Agora juntando tudo, e somando uma nova constante temos:
Passo 4
Agora vamos fazer uma última vez, dessa vez aplicando em .
Temos que:
Usando as fórmulas que já trabalhamos nos passos anteriores, vamos chegar em:
Pronto, achamos !!