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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 35

Encontre f .

f ' x = 5 x 2 3 ,                   f 8 = 21

Passo 1

Vamos lá, nessa questão temos que a t derivada de uma função f é dada por:

f ' x = 5 x 2 3

E queremos encontrar f .

Sabemos também que

f 8 = 21

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F �� chamada de antiderivada de f :

F ' x = f x

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f :

F x + C

onde C é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a F x não muda em nada sua derivada.

Vamos usar o valor que nos foi dado que é:

f 8 = 21

Para encontrar o valor da constante C .

Passo 2

Temos que:

f ' x = 5 x 2 3

Sua antiderivada será portanto:

f x

Aqui vamos usar a seguinte regra para a antiderivada de uma potência de x :

c x n = c x n + 1 n + 1   '

Logo,

5 x 2 3 = 5 ⋅ x 5 3 5 3 '

= 5 ⋅ 3 5 x 5 3 '

= 3 x 5 3 '

Agora juntando isso e somando uma constante C temos:

f x = 3 x 5 3 + C

Passo 3

Por último só vamos aplicar o ponto f 8 = 21 para achar o valor de C , vamos lá:

f 8 = 3 ⋅ 8 5 3 + C = 21

3 ⋅ 32 + C = 21

96 + C = 21

C = - 75

Substituindo o valor de C na expressão:

f x = 3 x 5 3 + C

f x = 3 x 5 3 - 75

Pronto, achamos f !!

Resposta

f x = 3 x 5 3 - 75

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