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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.2 - Ex. 17

Determine se o problema de valores de contorno dado é autoadjunto.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, temos uma equação diferencial e precisamos aplicar os valores de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução de função.

L y =   - p x y ' ' + q x y = λ r x y  

L y = - p ' x y ' - p x y ' ' +   q x y

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

- p x = 1 + x ² - p ' x = 2 x q x = 1 r x = 1 + x ²

- d d x 1 + x 2 y ' + y = λ 1 + x 2 y  

Resposta

- d d x 1 + x 2 y ' + y = λ 1 + x 2 y  

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Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo - 1 + x 2 y ' ' = λ y + 1 , y - 1 = 0 ,y 1 = 0
Suponha que todos os autovalores são reais.Encontre valores aproximados para λ1 e λ2, os dois autovalores não nulos de menor módulo.
Considere o problema.Mostre que, se φm e φn são autofunções associadas aos autovalores λm e λn, respectivamente, com λm ≠ λn, então
Considere o problema de valores de contorno. Resolva também o problema dado diretamente (sem introduzir uma variável nova).