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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.1 - Ex. 18b

Considere o problema de valores de contorno.

Resolva também o problema dado diretamente (sem introduzir uma variável nova).

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, temos uma equação diferencial e precisamos aplicar os valores de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução de função.

y ( x ) = e r x

r 2 + 4 r + 4 + 9 λ = 0

r = - 2 ± - 9 λ

Para λ = 0 :

y x = C 1 e - 2 x + C 2 x e - 2 x

y L = 0 , x = C 2 x e - 2 x  

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Para λ < 0 :

y x = C 1 e - 2 9 λ x + C 2 e - 2 - 9 λ x

y x = e - 2 x C 1 e 9 λ x + C 2 e - 9 λ x

y x = 2 C 1 e - 2 x sinh ⁡ 9 λ x

ϕ λ , x =   e - 2 x sinh ⁡ 9 λ x

Resposta

ϕ λ , x =   e - 2 x sinh ⁡ 9 λ x

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Considere o problema em que α é uma constante dada. Se α
Suponha que todos os autovalores são reais.Estime λn para valores grandes de n.
Considere o problema de valores de contorno. Determine, pelo menos aproximadamente, os autovalores reais e as autofunções associadas, procedendo como no Problema 17(a, b).
Considere o problema em que α é uma constante dada. Mostre que λ = 0 é um autovalor, se e somente se α = 1.
Suponha que todos os autovalores são reais.Determine a forma das autofunções e a equação satisfeita pelos autovalores não nulos.