Determine se as retas L_1 e L2 são paralelas, reversas ou concorrentes. Se forem concorrentes, determine seu ponto de intersecção.

21. L1 : (x - 1) / 2 = (y - 3) / 2 = (z - 2) / -1

L₂ : (x - 2) / 1 = (y - 6) / -1 = (z + 2) / 3

Passo 1

Podemos encontrar os vetores das direções de L 1 e L 2 , basta olharmos os denominadores das equações:

L 1 : < 2 , 2 , - 1 >

L 2 : < 1 , - 1 , 3 >

Comparando os dois, vemos que eles não são proporcionais:

2 1 ≠ 2 - 1 ≠ - 1 3

Assim, as retas não são paralelas.

Passo 2

Vamos agora escrever nossas retas pelas suas equações paramétricas:

L 1 : x = 1 + 2 t               y = 3 + 2 t             z = 2 - t

L 2 : x = 2 + s             y = 6 - s               z = - 2 + 3 s

Igualando as equações de x , y e z de ambas as retas, ficamos com

1 + 2 t = 2 + s [1]

3 + 2 t = 6 - s [2]

2 - t = - 2 + 3 s [3]

Show! Agora precisamos resolver esse sisteminha, vamos isolar s   em [1] e substituir em [2]:

1 + 2 t = 2 + s

2 t - 1 = s

3 + 2 t = 6 - ( 2 t - 1 )

2 t = 3 - 2 t + 1

4 t = 4

t = 1

s = 2 1 - 1 = 1

Agora trocamos t e s em [3]:

2 - 1 = - 2 + 3 ( 1 )

1 = 1

Como essa igualdade é verdadeira, concluímos que essas retas tem um ponto em comum, portanto elas são concorrentes. Para encontrar o ponto de intersecção basta substituirmos t = s = 1 em uma das equações paramétricas:

x = 1 + 2 t               y = 3 + 2 t             z = 2 - t

x = 3               y = 5             z = 1

P = ( 3,5 , 1 )

Resposta

Concorrentes, intersecção no ponto ( 3,5 , 1 )

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