Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais. F x , y = sen ⁡ y zi + sen ⁡ z x j + sen ⁡ x yk

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 4b

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

Passo 1

Meus lindos, tudo certo com vocês?

No nosso item (b) precisamos achar o divergente do campo vetorial dada na questão:

Mas o que carambolas é essa coisa de campo vetorial divergente? Calma, meooo...

Se a gente tiver um campo em

E se existirem as derivadas parciais de e de, então a gente pode descobrir a divergência de por essa fórmula aqui, ó:

Importante saber que nas derivadas parciais, a gente deriva uma mesma função em relação a e , tranquilo? 😉

Passo 2

Assim, para essa questão vamos primeiro calcular as derivadas parciais!

Primeiro sabendo quem é quem:

Logo, calculamos:

Percebeu que as derivadas parciais tiveram como resultado porque em cada uma delas estava querendo derivar em relação a algo que não estava dentro da função?

Por isso, calculando a divergência do campo vetorial, substituindo a fórmula do passo anterior:

Resposta

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6) Seja Ω um aberto em ℝ2 e suponha que Ω seja estrelado. (Dizemos que Ωé estrelado se existir (x0, y0) ∈ Ω tal que, para todo (x, y) ∈ Ω, osegmento de extremidades (x0, y0) e (x, y) esteja contido em

3) Suponha que o aberto Ω ⊂ ℝ2 tenha a seguinte propriedade: existe (x0,y0, z0) em Ω tal que, para todo (x, y, z) ∈ Ω, a poligonal de vértices (x0,y0, z0), (x, y0, z0), (x, y, z0) e (x, y, z) esteja c

Seja F → = Pi → + Qj → de classe C 1 no aberto Ω ⊂ R 2 . Suponha que 0,0 ∈ Ω e que, para todo x , y ∈ Ω , o segmento de extremidades 0,0 e x , y está contido em Ω . Suponha, ainda, ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x E

Prove que o conjunto dado é simplesmente conexo.a) Ω = ℝ2 - {(x, 0) ∈ ℝ2 | x ≥ 0}b) Ω = ℝ3 - {(0, 0, z) ∈ ℝ3 | z ≥ 0}(Sugestão: Verifique que o conjunto dado é estrelado.)