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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 4b

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F x , y = sen ⁡ y z   i + sen ⁡ z x j + sen ⁡ x y   k

Passo 1

Meus lindos, tudo certo com vocês?

No nosso item (b) precisamos achar o divergente do campo vetorial dada na questão:

F x , y = sen ⁡ y z   i + sen ⁡ z x j + sen ⁡ x y   k

Mas o que carambolas é essa coisa de campo vetorial divergente? Calma, meooo...

Se a gente tiver um campo em R 3

F = P i + Q j + R k

E se existirem as derivadas parciais de P ,   Q   e de   R , então a gente pode descobrir a divergência de F por essa fórmula aqui, ó:

d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Importante saber que nas derivadas parciais, a gente deriva uma mesma função em relação a x ,   y   e z , tranquilo? 😉

Passo 2

Assim, para essa questão vamos primeiro calcular as derivadas parciais!

Primeiro sabendo quem é quem:

F x , y = sen ⁡ y z ⏟ P   i + sen ⁡ z x ⏟ Q j + sen ⁡ x y ⏟ R   k

Logo, calculamos:

∂ P ∂ x = ∂ ∂ x sen ⁡ y z = 0

∂ Q ∂ y = ∂ ∂ y sen ⁡ z x = 0

∂ R ∂ z = ∂ ∂ z s e n   x y = 0

Percebeu que as derivadas parciais tiveram como resultado 0 porque em cada uma delas estava querendo derivar em relação a algo que não estava dentro da função?

Por isso, calculando a divergência do campo vetorial, substituindo a fórmula do passo anterior:

d i v   F = 0

Resposta

d i v   F = 0

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