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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 8a

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F → x , y = arctg ⁡ x y , a r c t g ⁡ ( y z ) , a r c t g ⁡ ( z x )

Passo 1

E aii, pessoal, tudo bem?

Nessa questão, precisamos calcular o rotacional de um campo vetorial:

F → x , y = arctan ⁡ x y , a r c t a n ⁡ ( y z ) , a r c t a n ⁡ ( z x )

Se temos um campo F → x , y , z = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ , o rotacional é:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

Pro campo desse caso,

P = arctg ⁡ x y

Q = arctg ⁡ y z

R = arctg ⁡ z x

Então, vamos começar calculando essas derivadas parciais, e depois colocamos na fórmula do rotacional.

Lembrando que pra calcular essas derivadas, vamos usar a regra da cadeia:

∂ arctg ⁡ u ∂ x = 1 1 + u 2 ∙ ∂ u ∂ x

Passo 2

Começando com a primeira coordenada do rotacional:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z

Derivando R em função de y , mantendo x e z como constantes:

∂ R ∂ y = ∂ arctg ⁡ z x ∂ y = 0

Derivando Q em função de z , mantendo x e y como constantes:

∂ Q ∂ z = ∂ arctg ⁡ y z ∂ z =

= 1 1 + y z 2 ∙ ∂ y z ∂ z = y 1 + y 2 z 2

E aí:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z = - y 1 + y 2 z 2

Passo 3

Agora a segunda coordenada:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x

Derivando P em função de z , mantendo x e y como constantes:

∂ P ∂ z = �� arctg ⁡ x y ∂ z = 0

Derivando R em função de x , mantendo y e z como constantes:

∂ R ∂ x = ∂ arctg ⁡ z x ∂ x =

= 1 1 + z x 2 ∙ ∂ z x ∂ x = z 1 + z 2 x 2

Então:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x = - z 1 + z 2 x 2

Passo 4

E por último, a componente k ^ :

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Derivando Q em função de x , mantendo y e z como constantes:

∂ Q ∂ x = ∂ arctg ⁡ y z ∂ x = 0

Derivando P em função de y , mantendo x e z como constantes:

∂ P ∂ y = ∂ arctg ⁡ x y ∂ y =

= 1 1 + x y 2 ∙ ∂ x y ∂ y = x 1 + x 2 y 2

Daí:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = - x 1 + x 2 y 2

Passo 5

Voltando pro rotacional:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

rot ⁡ F → = - y 1 + y 2 z 2   i ^ - z 1 + z 2 x 2   j ^ - x 1 + x 2 y 2   k ^

Resposta

rot ⁡ F → = - y 1 + y 2 z 2   i ^ - z 1 + z 2 x 2   j ^ - x 1 + x 2 y 2   k ^

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A partir do gráfico de F você diria que o campo é conservativo? Explique.
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo. { ( x , y ) | x ≠ 0 }
Se F → x , y = sen ⁡ y i ^ + 1 + x cos ⁡ y j ^ , use um gráfico para conjecturar se F → é conservativo. Então, determine se sua conjectura estava correta.
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo. { ( x , y ) | x0 , y0 }
Seja F = ∇ f , onde f x , y = sen ⁡ ( x - 2 y ) . Determine curvas C 1 e C 2 que não sejam fechadas e satisfaçam a equação. ∫ C 1 F ⋅ d r = 0 (b) ∫ C 2 F ⋅ d r = 1