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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.6 - Ex. 5

Seja F → = P   i → + Q   j → de classe C 1 no aberto Ω ⊂ R 2 . Suponha que 0,0 ∈ Ω e que, para todo x , y ∈ Ω , o segmento de extremidades 0,0 e x , y está contido em Ω . Suponha, ainda,

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Em Ω . Seja

φ u , v = ∫ γ F → ⋅ d γ →

Onde γ t - u t , v t ,   t ∈ 0,1 . Prove que ∇ φ = F → .

Sugestão:

φ u , v = ∫ 0 1 F → γ t ⋅ γ ' t d t = ∫ 0 1 [ u P u t , v t + v Q u t , v t d t

Observe que

∂ ∂ t t P u t , v t = P u t , v t + t u ∂ P ∂ x u t , v t + v ∂ P ∂ y u t , v y

Passo 1

Vamos até usar a sugestão dada pelo livro, mas não exatamente igualzinha. Repare que

∂ ∂ t P x , y = ∂ P ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ P ∂ y ∂ y ∂ t

E

∂ ∂ t Q x , y = ∂ Q ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ Q ∂ y ∂ y ∂ t

E com a parametrização dada pelo livro, x = u t e y = v t ficamos com

∂ ∂ t P x , y = ∂ P ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ P ∂ y ∂ y ∂ t = u ∂ P ∂ x + v ∂ P ∂ y

E

∂ ∂ t Q x , y = ∂ Q ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ Q ∂ y ∂ y ∂ t = u ∂ Q ∂ x + v ∂ Q ∂ y

Agora usando que

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Temos que

∂ ∂ t P x , y = ∂ P ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ P ∂ y ∂ y ∂ t = u ∂ P ∂ x + v ∂ P ∂ y = ∂ ∂ x u P + v Q

E

∂ ∂ t Q x , y = ∂ Q ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ Q ∂ y ∂ y ∂ t = u ∂ Q ∂ x + v ∂ Q ∂ y = ∂ ∂ y u P + v Q

E vão ser essas duas relações que iremos usar para provar que ∇ φ = F →

Passo 2

Agora vamos fazer o seguinte. Seja

φ u , v = ∫ 0 1 [ u P u t , v t + v Q u t , v t d t

Então

∂ φ ∂ x u , v = ∂ ∂ x ∫ 0 1 [ u P u t , v t + v Q u t , v t d t = ∫ 0 1 ∂ ∂ x [ u P u t , v t + v Q u t , v t d t

E agora usando a primeira relação

∂ φ ∂ x u , v = ∫ 0 1 ∂ ∂ t P x , y d t

Pelo Teorema fundamental do Calculo

∂ φ ∂ x u , v = P x , y γ

E se tomarmos a derivada na direção y

∂ φ ∂ y u , v = Q x , y γ

Assim temos que

∇ φ = P   i → + Q j   → = F →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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3 ) Seja Ω = {(x, y) ∈ ℝ2 | (x, y) ∉ A}, onde A é a semirreta {(x, y)∈ ℝ2 | y= 0 e x ≥ 0}. Calcule ∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y onde γ: [ 0 ,1 ]→R 2 é uma curva C1 por partes, com imagem co
Calcule e )∫ γ s e nx y + x y cos ⁡ x y d x + x 2 cos ⁡ x yd y Onde γ t = t 2 - 1 ,t 2 + 1,- 1 ≤ t ≤ 1
2 ) Seja F:Ω⊂R n→R n contínuo no aberto Ω. Prove que uma condiçãonecessária para que F seja conservativo é que ∫ γ F ⋅ d r = 0 , para toda curva γ fechada C 1 por partes com imagem contida em Ω
4 ) Seja Ω o interior do conjunto hachurado.Sejaγ:[0 ,1]→R 2 uma curva de classe C1 por partes com imagemcontida em Ω e tal que γ( 0 )=( 1 ,1 )eγ( 1 )=( 2 ,2 ) . Calcule ∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2
Calcule ∫ ( 1,1 ) ( 2,2 ) yd x + xd y