6) Seja Ω um aberto em ℝ2 e suponha que Ω seja estrelado. (Dizemos que Ωé estrelado se existir (x0, y0) ∈ Ω tal que, para todo (x, y) ∈ Ω, osegmento de extremidades (x0, y0) e (x, y) esteja contido em Ω.) Seja

F = P * i + Q * j

de classe C1 no aberto Ω ⊂ ℝ2. Prove

d/dy P = d/dx Q

em Ω, então F sera conservativo

(Sugestao : Proceda como no exercicio 5 )

Passo 1

Existe uma propriedade de vetores que nos diz que se

∇ ×   F = 0

Logo F é conservativo e independe de caminho. Nós podemos associar F a um Campo de Potencial ( ϕ ) . Fisicamente temos várias forças que são assim por exemplo a gravidade. A gravidade independe se estamos nos movimentando em x ou y, ela só se altera em z ( ou seja a altura ). Logo temos a relação

∇ ×   F = 0 → F = ∇ ϕ

Passo 2

Ao fazer o Rotacional de F no deparamos com a seguinte equação

∇ ×   F = 0,0 , d d x Q - d d y P

Entao para que F seja conservativo temos obrigatoriamente que seja

∇ ×   F = 0,0 , 0

Dessa forma sabemos que

d d y P = d d x Q

E se conseguirmos que essa equação seja verdadeira, então

F = ∇ ϕ

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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