Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.6 - Ex. 6

6) Seja Ω um aberto em ℝ2 e suponha que Ω seja estrelado. (Dizemos que Ωé estrelado se existir (x0, y0) ∈ Ω tal que, para todo (x, y) ∈ Ω, osegmento de extremidades (x0, y0) e (x, y) esteja contido em Ω.) Seja

de classe C1 no aberto Ω ⊂ ℝ2. Prove

em Ω, então sera conservativo

(Sugestao : Proceda como no exercicio 5 )

Passo 1

Existe uma propriedade de vetores que nos diz que se

Logo F é conservativo e independe de caminho. Nós podemos associar F a um Campo de Potencial ( ) . Fisicamente temos várias forças que são assim por exemplo a gravidade. A gravidade independe se estamos nos movimentando em x ou y, ela só se altera em z ( ou seja a altura ). Logo temos a relação

Passo 2

Ao fazer o Rotacional de F no deparamos com a seguinte equação

Entao para que F seja conservativo temos obrigatoriamente que seja

Dessa forma sabemos que

E se conseguirmos que essa equação seja verdadeira, então

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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8 ) Seja V( x ,y )=x 2+y 2 . Desenhe um campo F(x, y) para o qual setenha ∇V( x ,y ) ·F ( x ,y )≤0 .

10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,y )≠0 ,0 , ∇Vx ,y ⋅ F x , y0 . Seja γ t = x t ,y t ≠ 0,0 ,t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t c

9 ) Sejam V e F como no exercício anterior. Seja γ( t )=( x( t ) ,y( t ) ) , t ∈ I, uma curva tal que, para todo t no intervalo I, γ ’ ( t )= F( γ( t ) ) . Prove queg( t )=V( γ( t ) ) é decrescente em

7 ) Seja F =∇f , onde f (x, y z) = x + y + z. Desenhe F(x, y, z), com x+ y + z = 1, x0, y0 e z0

O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.e ) vec F (x , y , z) = x vec i + y vec j + z vec k