11) Seja γ (t) = (x (t), y (t)) e suponha que, para todo t ≥ 0,

x˙(t) = -y(t) - x^3(t)

y˙(t) = x(t) - y^3(t)

Prove que γ (t) tende a (0, 0) quando t -> + ∞. (Sugestão: Utilize o exercícioanterior.) não há fórmula a ser reescrita

Passo 1

Estamos trabalhando com as mesmas regras do exercício 10. Então valem que as equações abaixo

V x , y = x 2 + y 2

g   ( t )   =   V   ( γ   ( t ) )

g ' x = V '   γ   t ⋅ γ ' t

γ ' t = F γ t

    ∇   V   x ,   y ⋅ F x , y < 0

lim t → ∞ ⁡ γ   t = ( 0,0 )  

Que são as conclusões que obtivemos do exercício anterior

Passo 2

Temos que

γ ' t = F γ t

F γ t = - y - x 3 ,   x - y 3

Vamos usar

    ∇   V   x ,   y ⋅ F x , y < 0

Para resolver nosso problema

2 x , 2 y - y - x 3 ,   x - y 3 < 0

- 2   x 4 + y 4 < 0

E pelo exercício 10.e) sabemos que

lim t → ∞ ⁡ x 2   γ   t   = 0

E

lim t → ∞ ⁡   y 2   ( γ   ( t ) )   = 0

Logo podemos concluir que essa relação tende a zero

lim t → ∞ ⁡   - 2   x 4 + y 4 = 0

E isso so é possivel se

lim t → ∞ ⁡   ( γ   ( t ) )   = 0,0

Assim

- 2   x 4 + y 4 = 0 + 0 = 0

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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