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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.5 - Ex. 1

Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações.

  1. Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas.
  2. Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas.
  3. Dois planos paralelos a um terceiro são paralelos.
  4. Dois planos perpendiculares a um terceiro são paralelos.
  5. Duas retas paralelas a um plano são paralelas.
  6. Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas.
  7. Dois planos paralelos a uma reta são paralelos.
  8. Dois planos perpendiculares a uma reta são paralelos.
  9. Dois planos ou se interceptam ou são paralelos.
  10. Duas retas ou se interceptam ou são paralelas.
  11. Um plano e uma reta ou se interceptam ou são paralelos.

Passo 1

  1. Verdadeira.

    2. Explicação: temos duas retas r 1   e   r 2 paralelas a uma terceira reta r 3   e queremos saber se essas duas são paralelas entre si ( se r 1 é paralela a r 2 )

    Bom, vamos dizer que temos o vetor de direção ( a . b , c ) na reta r , duas retas são paralelas se, e somente se, tiverem vetor de direção proporcionais.

    Então o vetor de direção da reta r 1 será da forma ( k 1 a ,   k 1 b , k 1 c )

    E o vetor de direção da reta r 2 será da forma ( k 2 a , k 2 b , k 2 c )

    Assim nós podemos ver que os vetores de r 1 e r 2 são proporcionais:

    k 1 a k 2 a = k 1 b k 2 b = k 1 c k 2 c = k 1 k 2

    Portanto, r 1   é paralela a r 2 .

    Passo 2

  2. Falso.

    3. Para mostrar que essa frase é falsa podemos pensar em uma coisa simples do dia a dia: olhe para o canto de um quarto quadrado. A reta que vai do chão ao teto é a nossa reta, agora veja que a reta do chão a uma parede e a outra reta do chão a outra parede são perpendiculares a essa reta mas também são perpendiculares entre si, porque elas se cruzam. Logo, não são paralelas.

    Passo 3

  3. Verdadeiro

    4. Dois planos são paralelos se, e apenas se, seus vetores normais forem paralelos.

    E nós já sabemos que, dois vetores paralelos ao mesmo vetor são paralelos entre si.

    Portanto, dois planos que são paralelos ao mesmo plano, são paralelos um ao outro.

    Passo 4

  4. Falso. Por exemplo, os planos x y e y z não são paralelos, mas ambos são perpendiculares ao plano x z .

    5. Passo 5

  5. Falso. Os eixos x e y não são paralelos, mas ambos são paralelos ao plano z = 1

    6. Passo 6

  6. Verdadeiro: se cada reta é perpendicular a um plano, então os vetores de direção das retas são paralelos a um vetor normal para o plano. Assim, os vetores de direção são paralelos entre si e as retas são paralelas.

    7. Passo 7

  7. Falso. Os planos y = 1   e z = 1 não são paralelos, mas ambos são paralelos ao eixo x .

    8. Passo 8

  8. Verdadeiro. Se cada plano é perpendicular a uma reta, então qualquer vetor normal para cada plano é paralelo a um vetor de direção para a reta. Assim, os vetores normais são paralelos entre si e os planos são paralelos.

    9. Passo 9

  9. Verdadeiro. Se dois planos não são paralelos, eles devem se cruzar em uma reta.

    10. Passo 10

  10. Falso. Elas podem ser reversas.

    11. Passo 11

  11. Verdadeiro. Considere qualquer vetor normal para o plano e qualquer vetor de direção para a reta. Se o vetor normal é perpendicular para o vetor de direção, a reta e o plano são paralelos. Caso contrário, os vetores se encontram em um ângulo θ , 0 < θ < π 2 e a reta cruzará o plano em um ângulo de π 2 - θ .

Resposta

  1. Verdadeiro.
  2. Falso.
  3. Verdadeiro.
  4. Falso.
  5. Falso.
  6. Verdadeiro.
  7. Falso.
  8. Verdadeiro.
  9. Verdadeiro.
  10. Falso.
  11. Verdadeiro.
Ver Outros Exercícios desse livro

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