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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 4b

Calcule.

int x^2 sqrt(x - 1) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vamos fazer:

u = x - 1 -> x = u + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição:

int x^2 sqrt(x - 1) d x = int (u + 1)^2 sqrt(u) d u

Agora vamos expandir o termo (u - 1)^2 e fazer algumas manipulações para ficar mais simples de resolver:

int (u + 1)^2 sqrt(u) d u = int (u^2 + 2 u + 1) u^((1)/(2)) d u = int u^(2 + (1)/(2)) + 2 u^(1 + (1)/(2)) + u^((1)/(2)) d u = int u^((5)/(2)) + 2 u^((3)/(2)) + u^((1)/(2)) d u

Passo 2

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando essas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int u^((5)/(2)) + 2 u^((3)/(2)) + u^((1)/(2)) d u = int u^((5)/(2)) d u + int 2 u^((3)/(2)) d u + int u^((1)/(2)) d u

Resolvendo cada uma separadamente:

int u^((5)/(2)) d u = (u^((5)/(2) + 1))/((5)/(2) + 1) = (u^((7)/(2)))/((7)/(2)) = (2 u^((7)/(2)))/(7)

int 2 u^((3)/(2)) d u = 2 int u^((3)/(2)) d u = 2 (u^((3)/(2) + 1))/((3)/(2) + 1) = 2 (u^((5)/(2)))/((5)/(2)) = 4 (u^((5)/(2)))/(5)

int u^((1)/(2)) d u = (u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) = (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) = (2 u^((3)/(2)))/(3)

Vamos agora juntar:

int u^((5)/(2)) d u + int 2 u^((3)/(2)) d u + int u^((1)/(2)) d u = (2 u^((7)/(2)))/(7) + 4 (u^((5)/(2)))/(5) + (2 u^((3)/(2)))/(3) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você foi usando no começo:

int x^2 sqrt(x - 1) d x = (2 u^((7)/(2)))/(7) + 4 (u^((5)/(2)))/(5) + (2 u^((3)/(2)))/(3) + C = (2 (u + 1)^((7)/(2)))/(7) + 4 ((u + 1)^((5)/(2)))/(5) + (2 (u + 1)^((3)/(2)))/(3) + C

Resposta

int x^2 sqrt(x - 1) d x = (2 (u + 1)^((7)/(2)))/(7) + 4 ((u + 1)^((5)/(2)))/(5) + (2 (u + 1)^((3)/(2)))/(3) + C

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