Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n   n 4

Passo 1

Oi, gente! Tudo beleza?

A questão quer que a gente encontre o comportamento da nossa série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n   n 4

Vamos relembrar os conceitos que o enunciado traz: Se ∑ ∣ a n ∣ converge, então ∑ a n ​ é absolutamente convergente. Ela é condicionalmente convergente se ∑ a n ​ converge, mas

∑ ∣ a n ∣ diverge. Por fim, uma série é divergente se ∑ a n não converge

Vamos começar então, tentando entender se nossa série é absolutamente convergente, ou seja, se ∑ ∣ a n ∣ é convergente.

Bora!

Passo 2

Estudando a série absoluta:

∑ n = 1 ∞ - 1 n   n 4 =     ∑ n = 1 ∞ 1 n 4

Esse tipo de série parece familiar, não é mesmo? É uma série-p! Vamos relembrar rapidinho o formato de série-p:

∑ n = 1 ∞ 1 n p

Para a série-p, temos que ela é convergente se p > 1 . No nosso caso temos:

p = 4 > 1

Portanto a série é absolutamente convergente, já que ∑ ∣ a n ∣ é convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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