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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 44

Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 3 ) 3 n + 2

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos esse exercício, vamos usar o Teste da Razão. Antes, vamos relembrar aqui rapidinho como é:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Pelo valor de L , teremos:

s e   0 ≤ L < 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e

s e   L > 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   d i v e r g e

s e   L = 0   ,   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Show, vamos pro exercício agora:

∑ n = 1 ∞ ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 3 ) 3 n + 2

Vamos assumir que

a n = ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 3 ) 3 n + 2

Logo:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( 2 n + 5 ) ( 2 n + 1 + 3 ) 3 n + 1 + 2 ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 3 ) 3 n + 2 = lim n → ∞ ⁡ ( 2 n + 5 ) ( 2 n + 1 + 3 ) ( 3 n + 1 + 2 ) × ( 3 n + 2 ) ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 3 )

lim n → ∞ ⁡ ( 2 n + 5 ) ( 2 n + 1 + 3 ) ( 3 n + 1 + 2 ) × ( 3 n + 2 ) ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 3 ) = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 5 2 n + 3 × ( 3 n + 2 ) ( 3 n + 1 + 2 ) × ( 2 n + 1 + 3 ) ( 2 n + 3 )

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 5 2 n + 3 × ( 3 n + 2 ) ( 3 n + 1 + 2 ) × ( 2 n + 1 + 3 ) ( 2 n + 3 ) = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 5 2 n + 3 × ( 3 n + 2 ) ( 3 . 3 n + 2 ) × ( 2 . 2 n + 3 ) ( 2 n + 3 )

Calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 5 2 n + 3 × ( 3 n + 2 ) ( 3 . 3 n + 2 ) × ( 2 . 2 n + 3 ) ( 2 n + 3 ) = 2 2 × 1 3 × 2 1 = 2 3

Como 2 3 < 1 , a nossa série converge.

Resposta

C o n v e r g e .

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