Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 43

Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ ( n ! ) 2 2 n !

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos esse exercício, vamos usar o Teste da Razão. Antes, vamos relembrar aqui rapidinho como é:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Pelo valor de L , teremos:

s e   0 ≤ L < 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e

s e   L > 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   d i v e r g e

s e   L = 0   ,   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Show, vamos pro exercício agora:

∑ n = 1 ∞ ( n ! ) 2 2 n !

Vamos assumir que

a n = ( n ! ) 2 2 n !

Logo:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( ( n + 1 ) ! ) 2 2 n + 2 ! ( n ! ) 2 2 n ! = lim n → ∞ ⁡ ( ( n + 1 ) ! ) 2 2 n + 2 ! × 2 n ! ( n ! ) 2

Lembrando que

2 n + 2 ! = 2 n + 2 2 n + 1 ! = 2 n + 2 2 n + 1 2 n !

n + 1 ! = ( n + 1 ) ( n ! )

Substituindo:

lim n → ∞ ⁡ ( ( n + 1 ) ( n ! ) ) 2 2 n + 2 2 n + 1 2 n ! × 2 n ! ( n ! ) 2 = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 2 n + 2 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 4 n 2 + 6 n + 2

Calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 4 n 2 + 6 n + 2 = 1 4

Como 1 4 < 1 , a nossa série converge.

Resposta

C o n v e r g e .

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ - 2 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n n n 3 + 2
(a) Completando o quadrado, mostre que ∫ 0 1 / 2 d x x 2 - x + 1 (b) Usando a fatoração de x 3 + 1 como uma soma de cubos, reescreva a integral no item (a). Depois expresse 1 / ( 1 + x 3 ) como a soma
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n 2 n n 3
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ k = 1 ∞ 1 k !