Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 38
Use a série de Maclaurin de para calcular com precisão de cinco casas decimais.
Passo 1
E aii, vamos ver juntos o que essa questão quer?
Ela fala pra calcular o valor de , mas com uma precisão de cinco casas decimais.
A gente vai ter que usar série de Maclaurin da função :
Mas uma informação importante é: a questão quer o valor de com precisão de cinco casas decimais. Como que a gente vai garantir isso?
Bom, vamos ter que analisar o , e achar um valor de que dá um erro menor que . Pra isso vamos ter que usar a desigualdade de Taylor.
Ela diz que se , então
Por último, antes de entrarmos nas contas, temos que lembrar que as funções trigonométricas têm domínio em radianos, então precisamos transformar esse em um valor correspondente em radianos, usando essa relação:
Fazendo regra de 3:
Então vamos começar!
Passo 2
Pra usar a desigualdade de Taylor nessa série de Maclaurin (centrada em ), vai ficar:
Podemos notar que é sempre ou , então como o intervalo dessas funções é limitado, podemos dizer que , então podemos usar
Substituindo na desigualdade
Agora podemos substituir o nosso ponto
Passo 3
Vamos testando valores de até achar um .
Para
Para
Pronto, achamos que , então precisamos de no mínimo do polinômio de grau () para a precisão pedida.
Passo 4
Temos então que
E podemos aproximar como sendo