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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 7

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ k = 1 ∞ k 2 3 k  

Passo 1

E aí, pessoal? Firmeza?

A questão está pedindo para acharmos a convergência absoluta, condicional ou divergência da série:

∑ k = 1 ∞ k 2 3 k  

O teste que nos permite encontrar a convergência nesses termos é o Teste da Razão. Vamos relembrar o Teste da Razão: Calculamos o limite:

lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k = L      

Se:

  • L < 1 → a série ∑ a k é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
  • L > 1 → a série ∑ a k é divergente
  • L = 1 → o teste é inconclusivo.

Aqui no nosso caso teremos:

a k = k 2 3 k  

Vamos em frente!

Passo 2

Vamos usar o teste da razão: Colocando:

a k + 1 = ( k + 1 ) . 2 3 k + 1

Escrevendo:

a k + 1 a k = k + 1 ⋅ 2 3 k + 1 k 2 3 k

Aplicando a propriedade da potenciação: b m + n = b m   ⋅ b n  

Poderemos cancelar o termo 2 3 k :

k + 1 ⋅ 2 3 k ⋅ 2 3 1 k 2 3 k = k + 1 k ⋅ 2 3

Passo 3

Teremos então:

lim n → ∞ ⁡ k + 1 k ⋅ 2 3

Dividindo numerador e denominador por k para simplificar nossa análise:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 k 1 ⋅ 2 3 = 2 3

já que a primeira fração dentro dos parênteses tem limite 1 . Então, temos que o teste mostra que a série é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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