Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 20

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

Passo 1

E aí, pessoal!

Para resolver esse desafio, vamos usar o Teste da Razão para investigar a convergência da série .

O Teste da Razão é como aquele amigo que te ajuda a decidir se a uma festa é legal ou não. Ele olha pra sequência de termos da série e determina se ela vai bombar ou flopar, ou seja, se é convergente ou divergente. A sacada é que se o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual for menor que 1, então a série é tipo o rolê perfeito, convergindo direitinho.

Vamos então calcular isso aqui:

Em que:

E portanto:

Passo 2

Agora, vamos calcular o limite da razão entre os termos consecutivos da série:

Depois de simplificar, ficaremos com:

Logo,

Para prosseguir, podemos aplicar a propriedade conhecida:

Então:

Portanto, o limite da razão entre os termos consecutivos da série é zero.

Como o limite da razão é menor que 1, podemos concluir que a série converge absolutamente.

Resposta

A serie converge absolutamente.

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Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 45-54 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. a 1 = 1 3 ,a n + 1 = 3 n - 1 2 n + 5 ( a n )

Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ n ! ln ⁡ n n n + 2 !

Quais das séries nos Exercícios 55-62 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ ( n ! ) n ( n ) n 2

Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 45-54 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. a 1 = 2 ,a n + 1 = 1 + s e nn n ( a n )

Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ n ! n n