Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 2 n n n

Passo 1

E aí, pessoal!

Para resolver esse desafio, vamos usar o Teste da Razão para investigar a convergência da série ∑ n = 1 ∞ - 2 n n n .

O Teste da Razão é como aquele amigo que te ajuda a decidir se a uma festa é legal ou não. Ele olha pra sequência de termos da série e determina se ela vai bombar ou flopar, ou seja, se é convergente ou divergente. A sacada é que se o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual for menor que 1, então a série é tipo o rolê perfeito, convergindo direitinho.

Vamos então calcular isso aqui:

a n + 1 a n  

Em que:

a n = - 2 n n n

E portanto: a n + 1 = - 2 n + 1 ( n + 1 ) n + 1

Passo 2

Agora, vamos calcular o limite da razão entre os termos consecutivos da série:

- 2 n + 1 ( n + 1 ) n + 1 - 2 n n n  

Depois de simplificar, ficaremos com:

- 2 n .   - 2 1 ( n + 1 ) n + 1   .     n n ( - 2 ) n

( - 2 ) ( n n ) ( n + 1 ) n + 1    

Logo,

l i m n → ∞ - 2 ( n n ) ( n + 1 ) n + 1 = l i m n → ∞ - 2 . n n + 1 n .     1 n + 1  

Para prosseguir, podemos aplicar a propriedade conhecida:

l i m n → ∞ n n + 1 n = 1 e

Então:

l i m n → ∞ - 2 . n n + 1 n .     1 n + 1 = - 2 .   1 e . 0 = 0

Portanto, o limite da razão entre os termos consecutivos da série é zero.

Como o limite da razão é menor que 1, podemos concluir que a série converge absolutamente.

Resposta

A serie converge absolutamente.

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