Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

22-

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n

Passo 1

Essa série até é uma série alternada, mas vamos tentar provar antes que a série sem a alternância de sinal é convergente para ver se podemos cravar que a série é absolutamente convergente.

Se tentarmos fazer pelo reste da razão nós encontraremos L = 1 , nos dando um resultado inconclusivo. E o teste da comparação pode ser um tanto quanto complexa, então vamos aplicar o teste da integral para essa série:

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x d x

Aplicando a substituição:

u = ln ⁡ x

d u = 1 x   d x

O que nos dá:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Voltando para o domínio de x temos:

[ ln ⁡ x ] 2 ∞ = ln ⁡ ∞ - ln ⁡ 2

Que é um resultado que mostra que a série sem o sinal diverge, já sabemos então que a série não é absolutamente convergente. Podendo ser condicionalmente convergente, para isso vamos fazer o teste da série alternada.

Passo 2

Agora vamos analisar a sequência b n abaixo:

b n = 1 n ln ⁡ n

Para fazer o teste da série alternada precisamos ver se:

- A sequência b n converge para zero com n tendendo a infinito

- A sequência b n decresce de um determinado valor n até o infinito.

Fazendo o limite temos:

lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n = 1 ∞ × ∞ = 0

Como ∞ × ∞ não é uma indeterminação então podemos simplesmente escrever isso. Passo no primeiro teste

Passo 3

Agora para o segundo podemos fazer a derivada dessa função:

d d x 1 x l n   x

Pela regra do quociente temos:

d d x 1 x l n   x = 1 ' x l n x - 1 × ( x ln ⁡ x ) ' x l n   x 2   = - ( ln ⁡ x + 1 ) ( x ln ⁡ x ) 2  

Onde a derivada vai ser negativa para todo o intervalo de x > 2 . Sendo uma função decrescente sim (o que prova nosso teste da integral no passo 1). Passando no teste também.

Dessa forma, como passou nos dois testes da série alternada podemos dizer que a série é condicionalmente convergente.

Resposta

Série condicionalmente convergente.

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