Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 6

Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste desta seção do livro que é o teste da comparação.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.

Supondo que nós temos duas séries: e , podemos concluir algumas coisas:

Se e nós sabemos que diverge, então também diverge.
Se e nós sabemos que converge, então também converge.
Para outros casos não podemos concluir nada.

Passo 2

Para esta série, vamos tentar provar que ela converge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série converge, precisamos de uma série convergente que seus termos sejam maiores que o da nossa série.

Se chamarmos o termo geral da nossa série de , podemos dizer que

E isso vale para .

Para compararmos, vamos usar

Mas porque essa série?

Primeiramente, porque nós podemos comprovar a convergência desta série, basta manipularmos um pouco.

Simplificando os de cima e de baixo temos que

E somando agora os expoentes dos termos do denominador temos que

E pela série-p, como , a série

É convergente.

Passo 3

Outro motivo pelo qual vamos usar é que

Porque isso acontece? Vamos analisar isso melhor

Estamos comparando duas frações com um mesmo denominador, então só precisamos comparar o numerados e nós sabemos que sempre, afinal se tirarmos 1 de um número, o próprio número vai ser sempre maior.

Então como e nós sabemos que converge, pelo teste da comparação