Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.

x^2 + y^2 = 2cx

Passo 1

Olá, estarei te ajudando a resolver essa atividade. Vamos primeiro entender a situação.

Temos a curva dada pela equação cartesiana:

x 2 + y 2 = 2 c x

E queremos representar ela em uma equação polar.

Primeiramente, o que é uma equação polar?

É uma substituição feita na equação cartesiana da seguinte forma:

x = r ⋅ c o s   θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

Veja abaixo que temos então uma representação do ponto em outro tipo de coordenada e como isso é feito.

Então a gente precisa substituir os valores x   ,   y por essas duas equivalências.

Passo 2

Tratando c como uma constante qualquer, vamos substituir x e y na equação dada

x 2 + y 2 = 2 c x

Nas substituições entre coordenadas polares e cartesianas sempre que aparece x 2 + y 2 aparecerá a identidade fundamental da trigonometria:

x 2 + y 2 = r ⋅ cos ⁡ θ 2 + r ⋅ sen ⁡ θ 2

x 2 + y 2 = r 2 ⋅ cos ² ⁡ θ + r 2 ⋅ sen ² ⁡ θ

Colocando r ² em evidência:

x 2 + y 2 = r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

Pela relação fundamental da trigonometria cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1 , portanto:

x 2 + y 2 = r 2

Substituindo na equação:

r ² = 2 c ⋅ r ⋅ cos ⁡ θ

Passo 3

Por fim, para isolar o r vamos dividí-lo em ambos os lados

r 2 r = 2 c ⋅ r ⋅ cos ⁡ θ r

r = 2 c ⋅ cos ⁡ θ

Resposta

r = 2 c ⋅ cos ⁡ θ

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