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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.4 - Ex. 19

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (1 + 4^n)/(1 + 3^n)

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b_n e outra não a_n e então calculamos o seguinte limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a_n = (1 + 4^n)/(1 + 3^n)

Para comparar usaremos a série geométrica similar a série que estamos analisando, mas sem o 1 somando no numerador e denominador

b_n = (4^n)/(3^n)

Passo 3

Vamos calcular o limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((1 + 4^n)/(1 + 3^n))/((4^n)/(3^n))

Fazendo a divisão de frações

= underset(n -> oo)(lim) (1 + 4^n)/(1 + 3^n) * (3^n)/(4^n)

Vamos dividir em duas frações

= underset(n -> oo)(lim) (3^n)/(1 + 3^n) * (1 + 4^n)/(4^n)

Colocando 3^n em evidencia na primeira e 4^n na segunda

= underset(n -> oo)(lim) (3^n)/(((1)/(3^n) + 1) 3^n) * (((1)/(4^n) + 1) 4^n)/(4^n) = underset(n -> oo)(lim) (1)/(((1)/(3^n) + 1)) * (((1)/(4^n) + 1))/(1) = 1

Como 1 > 0 e a série geométrica de r = 4 // 3 diverge, nossa série

sum_(n = 1)^(oo) (1 + 4^n)/(1 + 3^n)

Também diverge.

Resposta

Diverge.

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